Оптически плоская Земля

С увеличением высоты над поверхностью Земли плотность атмосферы уменьшается. Любопытным следствием этого является изменение с высотой (градиент) показателя преломления воздуха, из-за чего луч света распространяется в атмосфере по слегка искривленной траектории, как бы огибая поверхность Земли. Так, например, мы видим Солнце в течение двух минут после того, как оно в действительности скрылось за горизонтом. Вычисления, проделанные Дедалом, показывают, что этот эффект исключительно тонко сбалансирован. Если бы радиус Земли был всего на 13 км меньше, то луч света, направленный вдоль ее поверхности, в точности следовал бы ее кривизне и Земля казалась бы плоской. Удаляющийся корабль не скрывался бы под горизонтом, а просто растворялся бы в дымке, и люди не смогли бы узнать, что Земля круглая, пока не обнаружили бы, что в хороший телескоп можно увидеть собственный затылок! Дедал считает, что несостоявшуюся возможность видения на неограниченном расстоянии без труда удастся реализовать. К примеру, приповерхностный слой воздуха можно заменить толстым слоем сернистого газа, имеющего в точности необходимые значения плотности и показателя преломления. Однако, вместо того чтобы разводить серные костры на вершинах гор, он рекомендует устраивать длинные трубопроводы, заполненные этим газом, — внутри такая труба будет казаться прямой независимо от того, насколько далеко она простирается вдоль поверхности Земли. Благодаря таким световодам люди смогут — с помощью мощных герметизированных телескопов — увидеть улыбающиеся лица своих родных, живущих в других уголках планеты; эти трубы послужат также каналом для передачи огромного объема информации. Когда будут построены трансконтинентальные трубопроводы, Дедал планирует провести эксперименты по измерению времени пробега фотонов в трубе, установив зеркала у ее концов. Однако экономически выгодно будет использовать трубопроводы для транспортировки более полезных газов, чем сернистый. В настоящее время по трубам на большие расстояния перекачивают метан и этилен; Дедал пытается убедить руководителей газовых и химических корпораций прокладывать такие трубопроводы по дуге большого круга (сечения земного шара, проходящего через земную ось). По его расчетам, трубопровод, заполненный этиленом под давлением 2,1 атм или метаном под давлением 5,9 атм, также будет казаться прямым, поскольку при указанных давлениях эти газы имеют необходимые градиенты показателя преломления.

New Scientist, October 19, 1972

Как изменяется показатель преломления газа N с высотой? Он пропорционален плотности, которая убывает с высотой экспоненциально. Таким образом, показатель преломления на высоте h дается выражением

(n_h – 1) = (n₀ – 1) ехр(-h/H),

где Н=RT/gm — «масштаб высоты», на котором плотность газа уменьшается в е раз,

m — молярная масса газа, n₀ — показатель преломления у поверхности Земли. Отсюда

n_h = 1+(n₀–1) exp(-h/H)

Дифференцируя, получаем

 Чтобы пучок света распространялся параллельно поверхности Земли, свет на его верхней границе должен распространяться быстрее, чем на нижней, — так, чтобы волновой фронт был всегда перпендикулярен земной поверхности. Поскольку скорость света обратно пропорциональна показателю преломления, это условие можно записать в виде

n_hr = n_(h+dh)(r+dh)

или

-dn/dh = n_h/r.

В атмосфере это условие будет выполняться для определенного радиуса r=r₀+h, соответствующего некоторой высоте h над поверхностью Земли:

-dn/dh = n_h/(r₀+h) 

Заменяя dn/dh и n_h соответствующими выражениями, получим

Это выражение можно упростить:

exp(h/H) = (n₀-1)[(r₀+h)/H-1].

Поскольку h и H малы по сравнению с радиусом Земли, r₀ = 6,37 × 10⁶ м, полученное выражение можно записать в виде

exp(h/H) = (n₀-1)r₀/H 

или

h = H ln[(n₀-1)r₀/H].

Остается теперь подобрать такой газ, у которого показатель преломления n₀ при давлении 1 атм и масштаб высоты H таковы, что h = 0. В таком газе луч света будет в точности следовать за кривизной земной поверхности.

Наиболее подходящим газом, по-видимому, является кислород O₂, для которого при 20°С n₀=1,000615 и H = 3880 м, что дает h = 37 м — весьма малая величина по сравнению с радиусом Земли. Для промышленных газов, этилена и метана, при нормальном давлении получаются большие отрицательные значения h (их показатели преломления при 20°С равны соответственно 1,000648 и 1,000411). Однако при давлениях 2,1 атм для этилена и 5,9 атм для метана оптические параметры этих газов становятся как раз такими, как надо.

Для воздуха при 20°С n₀= 1,000272 и H = 8560 м, что дает нам h = -13700 м, т.е. если прорыть на глубине 13 км туннель вдоль поверхности Земли, то он будет просматриваться на любое расстояние. Иначе говоря, если бы радиус Земли был всего на 13 км меньше, она казалась бы плоской!