Для записи информации о количестве объектов материального мира используются числа, которые разделяются по определенным признакам. На рис. 2.1 представлена классификация чисел по групповому признаку, когда в каждую группу входят числа, обладающие определенными свойствами.

Рис. 2.1. Классификация чисел

Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления, в них числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на два вида: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, в непозиционных – не зависит. Самой распространенной из непозиционных систем является римская. В качестве цифр в римской системе используются следующие символы: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000). Значение цифры в этой системе не зависит от ее положения в числе. Величина числа в римской системе определяется как сумма и разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.

Рис. 2.2. Диалоговое окно «Мастер функций – шаг 1 из 2»

Например, число 1997 (десятичная позиционная система счисления) в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: MCMXCVII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1. Для автоматизации процесса перевода данного числа из десятичной в римскую систему счисления воспользуемся табличным процессором MS Excel.

Для запуска программы MS Excel выполним команду: [Кнопка Пуск  – Программы – MS Office ХР – Microsoft Excel]. В любую из ячеек открывшегося окна Excel введем функцию «Римское», которая и осуществит необходимый перевод. Выполним следующие действия. Выделим, например, ячейку А1 с помощью курсора и выполним следующую команду: [Вставка – Функция]. В открывшемся диалоговом окне «Мастер функций – шаг 1 из 2» (рис. 2.2), установим «Категория: Математические» и выберем функцию «Римское». После нажатия кнопки OK появится диалоговое окно «Аргументы функции», показанное на рис. 2.3. Введем число 1997 в соответствующее поле окна и нажмем кнопку OK.

Рис. 2.3. Диалоговое окно «Аргументы функции»

В результате этих действий получаем в ячейке А1 искомое значение числа 1997 в римской системе счисления (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Лист MS Excel «Результат преобразований»

Наибольшее применение при вводе, обработке и выводе информации в компьютере и компьютерных системах нашли позиционные системы счисления, при этом самыми распространенными являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Основание системы равно количеству цифр (знаков ее алфавита) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа. В общем случае в позиционной системе счисления любое число, содержащее целую и дробные части, в развернутой форме может быть представлено в виде:

или в рекуррентной форме:

где K – представляемое число; h – основание системы счисления; а – разрядный коэффициент, а = 0, 1, 2, 3…, h-1, т. е. цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; i – номер разряда, позиция; п – число целых разрядов числа; т – число дробных разрядов числа.

В десятичной системе счисления формула (2.2) может быть записана следующим образом:

где а = 0, 1, 2, 3…, 9.

Например, число 827 десятичной системы счисления в соответствии с выражением (2.3) можно представить в виде: 827 = 8 · 10² + 2 · 10¹ + 7 · 10⁰.

Десятичная система исчисления используется в компьютерах для ввода числовых данных и отображения полученного результата. Все внутренние, промежуточные операции компьютер производит в двоичной системе счисления и соотношение (2.2) примет вид:

где а = 0, 1.

Например, число 1100111011₂ двоичной системы счисления в соответствии с формулой (2.4) можно представить в виде: 1 · 2⁹ + 1 · 2⁸ + 0 · 2⁷ + 0 · 2⁶ + 1 · 2⁵ + 1 · 2⁴ + 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰.

Достаточно широко при компьютерной обработке информации применяются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, которые используются, например, для обозначения адресов расположения данных в памяти компьютера и т. д.

Соотношение (2.2) для восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления соответственно примет вид (2.5) и (2.6) :

где а = 0, 1, 2, 3…, 7.

Например, число 1473₈ восьмеричной системы счисления в соответствии с (2.5) примет вид: 1 · 8³ + 4 · 8² + 7 · 8¹ + 3 · 8⁰.

где а = 0, 1, 2, 3…, 9, A, B, C, D, E, F.

В шестнадцатеричной системе счисления используется шестнадцать цифр, из которых десять цифр арабские (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), а остальные цифры (10, 11, 12, 13, 14, 15) обозначаются буквами латинского алфавита (А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, E = 14, F = 15).

Например, число 33B₁₆ шестнадцатеричной системы счисления, в соответствии с (2.6) примет вид: 3 · 16² + 3 · 16¹ + В · 16⁰ (В = 11).

При операциях с числами, представленными в различных системах счисления, необходимо указывать систему счисления числа, используя нижний индекс, например: 827₁₀ – число 827 в десятичной системе; 1100111011₂ – число 1100111011 в двоичной системе; 1473₈ – число 1473 в восьмеричной системе; 33B₁₆ – число 33В в шестнадцатеричной системе счисления.

Преобразование чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную осуществляется достаточно просто. Для этого необходимо записать число в развернутой форме в соответствии с выражением (2.1) и вычислить его значение. Например:

Преобразование чисел, представленных в десятичной системе счисления, в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления – более сложная процедура, которая может осуществляться различными способами: деления, умножения, вычитания и т. д. При этом необходимо учитывать, что способы перевода целых десятичных чисел и правильных дробей будут различаться. Для перевода целого десятичного числа, например 53₁₀, в двоичную систему можно использовать способ деления, а десятичной правильной дроби, например 0,75₁₀, в двоичную систему – способ умножения. Результаты действий отобразим в соответствующих табл. 2.1 и 2.2.

Таким образом, 53₁₀ = 110101₂.

Таким образом, 0,75₁₀ = 0,11₂.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую достаточно просто реализуется с помощью компьютерных программ Калькулятор и MS Excel. Однако следует заметить, что данные программы осуществляют перевод только целых чисел.

Преобразуем число AF₁₆ с помощью компьютерного калькулятора в двоичную, восьмеричную и десятичную системы счисления. Запустим программу Калькулятор с помощью команды: [Кнопка Пуск – Программы – Стандартные – Калькулятор]. После запуска программ выполним команду: [Вид – Инженерный]. У калькулятора имеется четыре опционные кнопки, расположенные слева вверху под индикатором вывода результата вычислений. При активизации кнопки Hex осуществляется преобразование числа, отображаемого в поле ввода, и результата вычислений калькулятора в шестнадцатеричную систему счисления, Dec  – в десятичную,  Oct  – в восьмеричную, Bin – в двоичную систему счисления. Активизируем кнопку Hex и введем число АF₁₆. Последовательно переключая кнопки Bin, Oct и Dec, получим следующие результаты: АF₁₆ = 10101111₂ = 257₈ = 175₁₀. На рис. 2.5 показан результат преобразования числа AF₁₆ в число 257₈.

Рис. 2.5. Программа «Калькулятор»

Последовательность действий при преобразовании шестнадцатеричного числа AF₁₆ в двоичную, восьмеричную и десятичную системы счисления с помощью программы MS Excel аналогична преобразованию числа 1997 в римскую систему счисления, но здесь необходимо учесть, что вместо функции «Римское» необходимо использовать функции «ШЕСТН.В.ДВ», «ШЕСТН.В.ВОСЬМ», «ШЕСТН.В.ДЕС» категории «Инженерные» (см. рис. 2.2).

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам. Для проведения арифметических операций над числами, представленными в различных системах счисления, необходимо предварительно преобразовать их в одну систему счисления и учесть то, что перенос в следующий разряд при операции сложения и заем из старшего разряда при операции вычитания определяется величиной основания системы счисления.

Арифметические операции в двоичной системе счисления основаны на таблицах сложения, вычитания и умножения одноразрядных двоичных чисел.

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос единицы в старший разряд, при вычитании 0–1 производится заем из старшего разряда, в таблице «Вычитание» этот заем обозначен 1 с чертой над цифрой.

Ниже приведены примеры выполнения арифметических операций над числами, представленными в различных системах счисления:

Арифметические операции над целыми числами, представленными в различных системах счисления, достаточно просто реализуются с помощью программ Калькулятор и MS Excel.

Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной системе счисления. Числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, т. е. в виде последовательности нулей и единиц, и могут быть представлены в формате с фиксированной или плавающей запятой.

Целые числа хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. При таком формате представления чисел для хранения целых неотрицательных чисел отводится регистр памяти, состоящий из восьми ячеек памяти (8 бит). Каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда и вне разрядной сетки. Например, число 11001101₂ будет храниться в регистре памяти следующим образом:

Максимальное значение целого неотрицательного числа, которое может храниться в регистре в формате с фиксированной запятой, можно определить из формулы: 2ⁿ – 1, где п – число разрядов числа. Максимальное число при этом будет равно 2⁸ – 1 = 255₁₀ = 11111111₂и минимальное 0₁₀ = 00000000₂. Таким образом, диапазон изменения целых неотрицательных чисел будет находиться в пределах от 0 до 255₁₀.

В отличие от десятичной системы в двоичной системе счисления при компьютерном представлении двоичного числа отсутствуют символы, обозначающие знак числа: положительный (+) или отрицательный (-), поэтому для представления целых чисел со знаком в двоичной системе используются два формата представления числа: формат значения числа со знаком и формат дополнительного кода. В первом случае для хранения целых чисел со знаком отводится два регистра памяти (16 бит), причем старший разряд (крайний слева) используется под знак числа: если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное, то – 1. Например, число 536₁₀ = 0000001000011000₂ будет представлено в регистрах памяти в следующем виде:

а отрицательное число -536₁₀ = 1000001000011000₂ в виде:

Максимальное положительное число или минимальное отрицательное в формате значения числа со знаком (с учетом представления одного разряда под знак) равно 2^n-1 – 1 = 2^16-1 – 1 = 2¹⁵ – 1 = 32767₁₀ = 111111111111111₂ и диапазон чисел будет находиться в пределах от -32767₁₀ до 32767.

Наиболее часто для представления целых чисел со знаком в двоичной системе применяется формат дополнительного кода, который позволяет заменить арифметическую операцию вычитания в компьютере операцией сложения, что существенно упрощает структуру микропроцессора и увеличивает его быстродействие.

Для представления целых отрицательных чисел в таком формате используется дополнительный код, который представляет собой дополнение модуля отрицательного числа до нуля. Перевод целого отрицательного числа в дополнительный код осуществляется с помощью следующих операций:

1)  модуль числа записать прямым кодом в п (п = 16) двоичных разрядах;

2)  получить обратный код числа (инвертировать все разряды числа, т. е. все единицы заменить на нули, а нули – на единицы);

3)  к полученному обратному коду прибавить единицу к младшему разряду.

Например, для числа -536₁₀ в таком формате модуль будет равен 0000001000011000₂, обратный код – 1111110111100111, а дополнительный код – 1111110111101000. Проверим полученное значение дополнительного кода с помощью калькулятора. Для этого введем значение модуля числа -536₁₀, т. е. число 536₁₀, и с помощью опционной кнопки Bin преобразуем это число, представленное в десятичной системе счисления, в двоичную систему, предварительно установив опционную кнопку 2 байта. Нажав кнопку Not калькулятора, получим обратный код числа, а прибавив к обратному коду двоичную единицу,  – дополнительный код. Окончательный результат получим в поле окна программы Калькулятор (рис. 2.6). Можно поступить еще проще: набрав на калькуляторе число -536₁₀ и активизировав кнопку Bin, получить дополнительной код этого числа в двоичной системе счисления.

Рис. 2.6. Результат получения дополнительного кода

Необходимо помнить, что дополнительный код положительного числа – само число.

Для хранения целых чисел со знаком помимо 16-разрядного компьютерного представления, когда используются два регистра памяти (такой формат числа называется также форматом коротких целых чисел со знаком), применяются форматы средних и длинных целых чисел со знаком. Для представления чисел в формате средних чисел используется четыре регистра (4 х 8 = 32 бит), а для представления чисел в формате длинных чисел – восемь регистров (8 х 8 = 64 бита). Диапазоны значений для формата средних и длинных чисел будут соответственно равны: -(2³¹ – 1) … + 2³¹ – 1 и -(2⁶³-1) … + 2⁶³ – 1.

Компьютерное представление чисел в формате с фиксированной запятой имеет свои преимущества и недостатки. К преимуществам относятся простота представления чисел и алгоритмов реализации арифметических операций, к недостаткам – конечный диапазон представления чисел, который может быть недостаточным для решения многих задач практического характера (математических, экономических, физических и т. д.).

Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) обрабатываются и хранятся в компьютере в формате с плавающей запятой. При таком формате представления числа положение запятой в записи может изменяться. Любое вещественное число Къ формате с плавающей запятой может быть представлено в виде:

где А – мантисса числа; h – основание системы счисления; р – порядок числа.

Выражение (2.7) для десятичной системы счисления примет вид:

для двоичной —

для восьмеричной —

для шестнадцатеричной —

и т. д.

Такая форма представления числа также называется нормальной. С изменением порядка запятая в числе смещается, т. е. как бы плавает влево или вправо. Поэтому нормальную форму представления чисел называют формой с плавающей запятой. Десятичное число 15,5, например, в формате с плавающей запятой может быть представлено в виде: 0,155 · 10²; 1,55 · 10¹; 15,5 · 10⁰; 155,0 · 10^-1; 1550,0 · 10^-2 и т. д. Эта форма записи десятичного числа 15,5 с плавающей запятой не используется при написании компьютерных программ и вводе их в компьютер (устройства ввода компьютеров воспринимают только линейную запись данных). Исходя из этого выражение (2.7) для представления десятичных чисел и ввода их в компьютер преобразовывают к виду

где Р – порядок числа,

т. е. вместо основания системы счисления 10 пишут букву Е, вместо запятой – точку, и знак умножения не ставится. Таким образом, число 15,5 в формате с плавающей запятой и линейной записи (компьютерное представление) будет записано в виде: 0.155Е2; 1.55Е1; 15.5Е0; 155.0Е-1; 1550.0Е-2 и т.д.

Независимо от системы счисления любое число в форме с плавающей запятой может быть представлено бесконечным множеством чисел. Такая форма записи называется ненормализованной. Для однозначного представления чисел с плавающей запятой используют нормализованную форму записи числа, при которой мантисса числа должна отвечать условию

где |А| — абсолютное значение мантиссы числа.

Условие (2.9) означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля, или, другими словами, если после запятой в мантиссе стоит не нуль, то число называется нормализованным. Так, число 15,5 в нормализованном виде (нормализованная мантисса) в форме с плавающей запятой будет выглядеть следующим образом: 0,155 · 10², т. е. нормализованная мантисса будет A = 0,155 и порядок Р = 2, или в компьютерном представлении числа 0.155Е2.

Числа в форме с плавающей запятой имеют фиксированный формат и занимают в памяти компьютера четыре (32 бит) или восемь байт (64 бит). Если число занимает в памяти компьютера 32 разряда, то это число обычной точности, если 64 разряда, то это число двойной точности. При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, мантиссы и порядка. Количество разрядов, которое отводится под порядок числа, определяет диапазон изменения чисел, а количество разрядов, отведенных для хранения мантиссы,  – точность, с которой задается число.

При выполнении арифметических операций (сложение и вычитание) над числами, представленными в формате с плавающей запятой, реализуется следующий порядок действий (алгоритм) :

1)  производится выравнивание порядков чисел, над которыми совершаются арифметические операции (порядок меньшего по модулю числа увеличивается до величины порядка большего по модулю числа, мантисса при этом уменьшается в такое же количество раз);

2)  выполняются арифметические операции над мантиссами чисел;

3)  производится нормализация полученного результата.

Поясним сказанное выше на примерах.

Произведем сложение двух чисел 0,5 · 10² и 0,8 · 10³ в формате с плавающей запятой.

Решение.

Проведем выравнивание порядков и сложение мантисс 0,05 · 10³ + 0,8 · 10³ = 0,85 · 10³. Полученная мантисса 0,85 является нормализованной, так как удовлетворяет условию (2.9).

Произведем сложение двух чисел 0,1 · 2² и 0,1 · 2³ в формате с плавающей запятой.

Решение.

Проведем выравнивание порядков и сложение мантисс: 0,01 · 2³ + 0,1 · 2³ = 0,11 · 2³. Полученная мантисса 0,11 является нормализованной, так как удовлетворяет условию (2.9).

1. Перевести числа, записанные в римской системе счисления, в числа десятичной системы счисления:

a)  XL; б) СХХХ; в) CDXXVIII; г) CMLXXVI; д) MCMLII; е) MMV.

2. Используя программу MS Excel, реализовать автоматический перевод чисел из десятичной системы счисления в римскую.

3. Создать и заполнить все ячейки следующей таблицы, используя табличный процессор MS Excel.

4. Используя формулы (2.1) —(2.6) записать в развернутом виде числа:

a)  K₁₀ = 12355; б) К₈ = 321476; в) К₂ = 101110011;

г)  K₁₆ = 143D5; е) K₁₀ = 769,314; ж) К₈ = 0,1734;

з)  K₂ = 100101,011; и) K₁₆ = ЗА1,5С1.

5. Заполнить все строки следующей таблицы.

6. Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а)  К₂ = 100200; б) K₁₆ = CD1; в) K₁₀ = F,345; г) K₈ = -122453?

7. Какие из чисел 3D7₁₆, 10010111₂, 375₈ и 13424₅ являются наибольшим и наименьшим?

8. Перевести числа 234₁₀, 1000₁₀, 30,75₁₀, 9,8₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

9. Перевести числа 10001₂, 1010,01₂, 111111₂, 1001110,011₂ в десятичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

10. Перевести числа 27₁₆, D,1B₁₆, 41₁₆, 25E,8₁₆ в двоичную, восьмеричную и десятичную системы счисления.

11. Перевести числа 237₈, 1050₈, 33,75₈, 0,756₈ в двоичную, десятичную и шестнадцатеричную системы счисления.

12. Какое число следует и предшествует каждому из приведенных ниже чисел:

а) 121₃; б) 9А₁₆; в) 1001101₂; г) 735₈ д) 234₁₀; е) 135₆; ж) 258₉?

13. Выполнить арифметические действия:

а) 46₈ + 135₈; г) 212₈ – 165₈; ж) 12₈ · 137₈;

б) 1010111₂ + 101₂; д) 1011001₂ – 10111₂; з) 1101₂101₂;

в) 1АЕ₁₆ + 32В₁₆; е) 10C₁₆ – D₁₆; и) 3D₁₆ · 1A₁₆.

14. Создать и заполнить в MS Excel таблицу, записав десятичные числа в заданном компьютерном представлении:

15. Создать и заполнить в MS Excel таблицу, записав десятичные числа в прямом, обратном и дополнительных кодах в 16-разрядном компьютерном представлении:

16. Представить заданные числа в форме с плавающей запятой и нормализованном виде:

а) 234,678₁₀; б) 1024₁₀; в) 35769₁₀; г) 0,126₁₀;

д) 111₂; е) 47₈; ж) 1DC₁₆.

17. Произвести сложение, вычитание и умножение следующих чисел в формате с плавающей запятой:

а) 0,537 · 10² и 0,25 · 10¹; б) 0,1 · 2¹ и 0,1 · 2^-2.